A deltoid fogalma már az ókori görög matematikusokat is foglalkoztatta. Kr.e. 3000-ben Euklidesz az Elemek című művében ugyanúgy definiálta ezt a négyszöget, mint ahogy az összes többi általunk ismert négyszöget is, mely az iskolai tananyag részét képezi. Annál is inkább, hiszen az érettségin, és a gimnáziumi felvételin is rendszeresen jönnek elő deltoidokkal kapcsolatos feladatok. Ezért érdemes tisztában lenni a deltoid fogalmával és tulajdonságaival.

A cikket a MatekZseni írta. Amennyiben szeretnél, iratkozz be internetes oktatófelületünkre!

A deltoid fogalma

A deltoid egy tengelyesen szimmetrikus négyszög, melynek 2-2 szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.

A deltoid tulajdonságai

  • Két-két szomszédos oldala azonos hosszúságú
  • Tengelyesen szimmetrikus négyszög
  • Átlói merőlegesek egymásra
  • A szemmetria átlója felezi a másik átlót egyenesét
  • A különböző hosszúságú oldalai által bezárt szögek azonos nagyságúak

Miben tér el a konvex és konkáv deltoid?

A konkáv deltoidnak van olyan belső szöge, ami nagyobb, mint 180 fok. Ezzel ellenben a konvex deltoidnak minden szöge kisebb 180 foknál. Szemléljük az alábbi ábrát, mely egy konvex és konkáv deltoidot mutat.

A deltoid területe

A deltoid területszámítása pontosan ugyan úgy zajlik függetlenül attól, hogy konvex-e a deltoid, vagy pedig konkáv. Ennek a meggondolása viszonylag egyszerű, mindjárt be is bizonyítjuk, hogy mindkét esetben a

képlettel számítható ki, ahol e és f a deltoid egymásra merőleges átlóit jelölik.

Először vizsgáljuk a konvex deltoid esetét!

Az ábrán viszonylag könnyen észrevehető, hogy a teljes négyszög területének a fele a deltoid, hiszen az átlók által feldarabolt deltoid négy darab háromszögre bontható, melyeknek megvan a négyszögön kívüli párja.

Nézzük a konkáv deltoid esetét! Ebben az esetben is igaz az állítás, vegyük az alábbi ábrát!

Az EFNM téglalap területe az alábbi képlettel számítható ki, ha az ábra jelöléseit használjuk:

A deltoid területe könnyedén meghatározható úgy, hogy kivonjuk a levágott háromszögek területét. Ezek közül 2-2 területe azonos, hiszen egybevágó háromszögek, így a területekre vonatkozó helyes összefüggés:


A deltoid területe úgy is meghatározható, hogy összeszorozzuk a két oldalát és az általuk közrezárt szög szinuszát. Az alábbi képletet írhatjuk fel:

A deltoid kerülete

Amennyiben a deltoid kerületet szeretnénk meghatározni, össze kell adni a négy határoló oldal hosszának összegét. Mivel 2-2 szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, ezért a helyes képlet:

ahol a és b a deltoid két oldalhossza.

Egyéb érdekességek

Minden konvex deltoidnak van beírt köre.

Minden deltoid tengelyesen szimmetrikus.

Minden deltoid, melynek az oldalai egyenlőek, egyben rombusz is.

Összefoglalás

A deltoid az egyik leginkább szeretett téma a matematika órákon, mikor a négyszögeket tanulják a diákok. Ennek az az oka, hogy viszonylag egyszerűek a vele kapcsolatos számítási képletek. Szeretnél beiratkozni az online oktatási felületünkre? Akkor kattints ide!