A háromszög egy olyan sokszög, amely már az ókori görög tudósokat is elgondolkodtatta. Annak idején már ők is rájöttek arra, hogy vannak olyan háromszögek, melyek speciális tulajdonságokkal rendelkeznek – például ilyen a szabályos háromszög, vagy a derékszögű háromszög. Amennyiben gimnáziumi tanulók, vagy általános iskolások vagyunk, nekünk is nagyon fontos, hogy tisztában legyünk a háromszög fogalmával, és a legfontosabb számítóképletekkel – hiszen renszeresen jönnek elő háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatok az érettségin, vagy pedig a gimnáziumi felvételin.

A cikket a ZseniMatek csapata írta. Ha szeretnél, iratkozz be online tanulófelületünkre!

A háromszög definíciója

A háromszög egy olyan geometriai alakzat, melynek három csúcsa, és három oldala van.

Az általános háromszög egy olyan háromszög, melynek minden oldala különböző hosszúságú, és nincs derékszöge – az ilyen háromszögek nem rendelkeznek semmilyen speciális tulajdonsággal. Speciális háromszögnek számít például a derékszögű háromszög, az egyenlő oldalú háromszög, vagy pedig az egyenlő szárú háromszög.

Az általános háromszög területe és kerülete

Ha a háromszögek kerület-és területszámítását szeretnénk tárgyalni, akkor először érdemes az általános háromszögről beszélni. Ennek a területe megadható úgy, hogy az egyik tetszőleges oldalhosszt összeszorozzuk az ehhez tartozó magasság hosszával.



Ha ismerjük a háromszög három oldalát, akkor nagyon könnyen kiszámíthatjuk a háromszögek területét a Hérón képlettel.

Ebben a képletben a, b, c a háromszög oldalait jelölik, míg s a háromszög félkerületét.

Szintén megadható egy tetszőleges háromszög területe úgy, hogy a háromszöget ábrázoljuk egy derékszögű koordináta rendszerben, és a csúcspontok koordinátáival számolunk. Amennyiben a csúcspontok a pontokban helyezkednek el, akkor a terület képlete:

Egyértelmű összefüggés teremthető egy háromszög beírt körének sugara, körülírt körének sugara és területe között. Jelöljük a körülírt kör sugarát R-el, a beírt kör sugarát pedig r-el. Ekkor az alábbi számító képletek helyesek, és alkalmazhatók:


Egy háromszög területe meghatározható trigonometikus úton is. Amennyiben a háromszög oldalai rendre a, b és c, valamint a belső szögek rendre , akkor az alábbi összefüggések érvényesek:



Az általános háromszög kerülete az oldalainak hosszának összege.

A derékszögű háromszög területe és kerülete

Egy derékszögű háromszög területét a legegyszerűbben a befogók függvényében adhatjuk meg. Amennyiben a kér befogó szorzatát kettővel osztjuk, a terület az alábbi képlettel számítható ki:

Egy derékszögű háromszög kerülete kiszámítható a két befogó függvényében, ha az átfogót kifejezzük a Pitagorasz-tétellel.



Az egyenlő szárú háromszög területe és kerülete

AZ egyenlő szárú háromszögek alapra merőleges magasságvonala felezi az alapot. Ebből kifolyólag a magasság nagyon könnyen kiszámítható az oldalak függvényében. Szemléljük az alábbi ábrát, és írjuk fel Pitagorasz tételét!

A Pitagorasz-tétel szerint


vagyis

A háromszög területe


Ha az egyenlőszárú háromszög kerületét akarjuk megadni, össze kell adni az alapot és a szárak hosszát.

Az egyenlő oldalú háromszög területe és kerülete

A szabályos háromszög területét az alábbi számítóképlettel határozhatjuk meg.

A kerülete nagyon könnyen megadható, hiszen az oldalhossz triplája.

Összefoglalás

A háromszögekkel kapcsolatos terület-és kerületszámítási példák azért nagyon fontosak, mert összetettebb feladatokban sokszor fontos akár a részeredmények eléréséhez, hogy egy adott háromszög területét vagy kerületét meg tudjuk határozni.

Szeretnél részt venni online oktató kurzusainkon? Akkor ne habozz, iratkozz be hozzánk!