A kocka a legelső test, amit általános iskolában megtanítanak a diákoknak. Hiszen, nagyon egyszerűen lehet a térfogatát és a felszínét kiszámolni, és a gyerekek is könnyedén el tudják képzelni a testet vizuálisan. Az érettségi vizsgán, vagy a felvételin rendszeresen kerülnek elő olyan példák, melyek a kockával kapcsolatosak. Mit érdemes tudni róla? Hogyan kell például a térfogatát és a felszínét kiszámolni?

A cikket a ZseniMatek csapata írta. Ha szeretnél, iratkozz be internetes tanfolyamunkra!

A kocka fogalma, rövid bemutatása

A kocka egy olyan test, melynek minden oldala négyzet. Egy másik jó meghatározás: a kocka egy olyan téglatest, melynek minden éle egyenlő. A kocka egy szabályos test.

A kocka tulajdonságai

Lássuk pontokba szedve, hogy mik a kocka legfőbb tulajdonságai.

  • 8 csúcsa van
  • 6 egybevágó lapja van
  • minden élszöge egyenlő
  • minden éle egyenlő
  • minden lapszöge egyenlő
  • van beírt gömbje
  • van köré írható gömbje

Mekkora a kocka lapátlója és testátlója?

Nagyon gyakori kérdés az iskolai számonkérésben, és az érettségin is: mekkora ennek a testnek a lapátlója és a testátlója? Jelöljük a kocka élhosszát a-val, a lapátlót d-vel, a testátlót D-vel. Ezekkel a jelölésekkel az alábbi összefüggések érvényesek:


A kocka térfogata

A kocka térfogata az oldalhossz ismeretében nagyon könnyen kiszámítható. Jelöle a a kocka oldalhosszát. Ha köbre emeljük, megkapjuk a térfogatot:

Előfordulhat, hogy nem ismerjük a kocka oldalhosszát, azonban adott a testátló vagy a lapátló hossza. Ez esetben nem feltétlenül szükséges kiszámolni az oldalhosszt, hiszen ezekből is kifejezhető a térfogat. Pici utána számolással bizonyítható, hogy érvényesek az alábbi összefüggések, ha d jelöli a lapátlót, és D a testátlót:


A kocka felszíne

A kocka felszíne könnyen megkapható, hiszen hat darab egybevágó négyzet alkotja. Nincs más dolgunk, mint hogy kiszámoljuk egy négyzet területét, és ezt meg kell szorozni hattal.

Az is lehetséges, hogy mindössze egy lapátló adott, vagy egy testátló. Ez esetben szintén nem szükséges kiszámolni az élhosszt, hiszen az alábbi összefüggések érvényesek:


A kocka beírt és köré írható gömbjének a sugara

Minden kockának van beért és körülírt gömbje. Ha ismerjük a kocka oldalhosszát, akkor könnyen meghatározhatjuk ezeket is. A beírt gömb sugara legyen r, a köréírt gömb sugara pedig R. Ez esetben az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:


A kocka szimmetria tulajdonságai

Azt mindenki tudja, hogy a kocka szimmetrikus test. Hiszen triviális, hogy vannak szimmetriasíkjai és középpontosan szimmetrikus. A kockának egy szimmetriaközéppontja van, és összesen kilenc szimmetriasíkja. Természetesen az oldalfelező pontok által alkotott síkok is szimmetriasíkok, azonban ezekből mindössze hat darab van. A 3-3 csúcsán átmenő sík is szimmetriasík.

Összefoglalás

A kocka az egyik legfontosabb témaköre az iskolai tananyagnak matematikából. Mindenképp érdemes tisztában lenni a kockára vonatkozó állításokkal, melyek itt, a cikkben le voltak írva – ennél több általában nem kell azoknak, akik az érettségi vizsgáig jó eredményeket szeretnének produkálni matematikából. Szeretnél beiratkozni az internetes tanfolyamunkra? Itt megteheted!