A kör területe, kerülete és részei már az általános iskolában is feladja a leckét a diákoknak. A területét még mindenki könnyedén ki tudja számolni, azonban sokan keverik az olyan fogalmakat, mint a körcikk vagy a körszelet. Márpedig ha ötöst szeretnénk matematikából, akkor mindenképp tudni kell ezeket – a középszintű érettségin is rendszeresen jönnek elő ezzel kapcsolatos feladatok.

Jelen cikket a ZseniMatek csapata írta. Ha szeretnéd jobban megérteni az általános iskolai, vagy középiskolai tananyagot, akkor iratkozz be internetes tanfolyamunkra!

A kör fogalma

Mi a kör fogalma? A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy kiválasztott ponttól meghatározott távolságra vannak. Az alábbi ábrán például a kör középpontja a (0,0) pontban helyezkedik el, és az alakzat minden egyes pontja 2 egység távolságra van a középponttól.


A kör részei

A kör középpontja legyen O pont. Szemléljük az alábbi ábrát! A legfontosabb részei a körnek megtalálhatók rajta, figyeljük a képen található magyarázó szöveget.

A kör sugara a kör középpontját és a kör egy tetszőleges pontját összekötő szakasz. Ezt a szakaszt rendszerint r-el jelöljük.

A kör átmérője a kör két átellenes pontját összekötő szakasz. Egy kör legnagyobb húrja az átmérője. Az átmérő jele d, az átmérő mindig kétszer olyan hosszú, mint a sugár.

A körív a körvonal egy adott hosszúságú szakasza.

A kör húrja a körvonal két tetszőleges pontját összekötő szakasz.

A körszelet egy olyan síkidom, melyet egy körív és és a hozzá tartozó húr határol.

A szelő egy olyan egyenes, amely két tetszőleges pontban metszi a körvonalat.

A körlap azon pontok halmaza, melyek a körvonalon belül találhatók, vagy a körvonal pontjai.

A körcikk egy síkidom, melyet két tetszőleges sugár és az általunk közrezárt körív határol.

A kör területe

A kör területét úgy határozhatjuk meg, hogy összeszorozzuk a kör sugarának négyzetét egy nevezetes számmal, a -vel. A képlet az alábbi módon fest:

A π egy irracionális szám, definíció szerint a kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Értéke megközelítőleg 3.14.

Lehetséges, hogy nem ismerjük a kör sugarát, csupán átmérőjét. Természetesen kiszámolhatjuk a kör sugarát, de meghatározhatjuk a területet az átmérő függvényében is akár:

A körcikk területe

A körcikk az egyik kedvenc témája az érettségi feladatokat összeállító tanári bizottságnak. Állítás: egy kör két körcikkéhez tartozó körív hosszának aránya egyenlő a középponti szögek arányával, vagyis

ahol és a megfelelő középponti szögeket, és a hozzájuk tartozó köríveket jelöli.

Egy körben a középponti szög és a hozzájuk tartozó körcikk területe mindig egyenesen arányos egymással. A nagyobb középponti szöghöz nagyobb terület, a kisebb középponti szöghöz kisebb területű körcikk tartozik. Az egyenes arányosságot kifejező képlet:

Ez az egyenes arányosság nagyszerűen felhasználható gyakorlatilag minden körcikkel kapcsolatos feladatban, hiszen a 2π radiánhoz tartozó terület a teljes kör területe, amit könnyen kiszámíthatunk.

Ahol értelemszerűen az adott körcikk középponti szögét jelenti radiánban. Amennyiben fokban szeretnénk számolni, az alábbi egyenletet írhatjuk fel:

Ahol a körcikk középponti szögét jelenti fokban mérve.

A körszerelt területe

A körszelet területszámítása már egy picit komplikáltabb feladat, mint az eddigiek. A körszelet egy olyan síkidom, melyet egy húr és egy körív határol. Ha az alábbi ábra jelöléseit használjuk, akkor az alábbi képlet érvényes. A körszelet területének megkapásához a körcikk területéből kell kivonni a NKP háromszög területét.



A kör kerülete

A kör kerülete is nagyon könnyedén kiszámítható a sugár függvényében. A kör kerülete a sugár és a már korábban megismert szám szorzatának a kétszerese. A képlet az alábbi módon fest:

Természetesen az átmérő (d) ismeretében is kiszámíthatjuk a kör kerületét – nézzük az alábbi képletet:

Amennyiben a kör területe ismert, de a sugár vagy az átmérő hossza nem, szintén kiszámíthatjuk közvetlenül a kerültet ebből az értékből:

Néhány gyakorló feladat a kör kerületéhez és területéhez kapcsolódóan

A gyakorlat teszi a mestert! Szokás mondani. Ha egy témakört igazán át akarunk látni, és meg szeretnénk érteni, akkor meg is kell oldanunk néhány feladatot ahhoz kapcsolódóan.

1. feladat

Egy frizbi sugara 20cm. Számoljuk ki a területét!

Megoldás. 

Használjuk a területszámítás formuláját. E szerint:

=

2. feladat

Egy kör átmérője 42 cm. Mennyi a területe?

Megoldás. 

A kör területe meghatározható annak átmérőjének függvényében is. Használjuk az átmérővel kapcsolatos képletet!

=

3. feladat

Adott két kör, melynek átmérői 30m és 55m. Számoljuk ki a területeik arányát!

Megoldás. 

Egy kör területe az átmérő függvényében az alábbi képlettel számítható ki:

A két kör területaránya megadható az átmérők négyzetének arányával:

A behelyettesítést követően adódik az eredmény:


4. Feladat

Egy pizzéria kétféle pizzát árul. Az egyiknek 1200 Ft az ára és 30 cm az átmérője, míg a másiknak 2200 Ft az ára és 50 cm az átmérője. Melyiket éri meg jobban megvásárolni?


Megoldás. Amennyiben meg szeretnénk határozni, hogy melyik pizzát éri meg megvenni a kettő közül, azt kell megmondanunk, hogy a négyzetcentiméter áruk mennyi.

A 30 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:

Az 50 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:

Ahogy várhattuk, a nagyobb pizza fajlagos ára alacsonyabb.

Összefoglalás

A kör területszámítása és kerületszámítása mindig is az iskolai tananyag esszenciális része volt. Még a hétköznapijainkban is jöhetnek elő olyan szituációk, amikor hasznos, ha tudjuk, hogy hogyan kell egy kör területét kiszámolni. Szeretnél felkészülni a következő matematika dolgozatra, vagy az érettségire? Akkor iratkozz be internetes tanulófelületünkre!