A paralelogramma fogalmát már az ókori görögök is megalkották. Amikor valaki iskolába jár, akkor bizony szembesül azzal, hogy a 12 év során rengeteg témazáró dolgozatban, vagy akár az érettségin is egy gyakran előkerülő témakör. Nem annyira nehéz téma, azonban érdemes legalább egyszer átismételni a paralelogrammáról tanultakat egy számonkérés előtt.

A cikket a ZseniMatek felkészítő csapata írta. Ha szeretnél, iratkozz be online oktató felületünkre!

A paralelogramma fogalma

A paralelogramma olyan négyszög, melynek 2-2 oldalpárja párhuzamos egymással.

A paralelogramma tulajdonságai

Lássuk, hogy mégis mik a paralelogramma tulajdonságai! Ha pontokba akarjuk szedni, az alábbiakat emelhetjük ki.

  • Szemközti oldalai párhuzamosak
  • Szemközti oldalai egyenlő hosszúak
  • Átlói felezik egymást
  • Középpontosan szimmetrikus alakzat
  • Szemközti szögei egyenlőek
  • Az egy oldalon fekvő szögei egyenes szögre egészítik ki egymást
  • A két szemközti oldalának felezőpontját összekötő középvonal párhuzamos és egyenlő a másik két oldal hosszával

A paralelogramma jelölései

A paralelogramma oldalait a-val és b-vel szokás jelölni, átlóit e-vel és f-el. Magasságai és Tekintsük az alábbi ábrát!

A paralelogramma területe

A paralelogramma területszámítására több ismert módszer is van.

Ha az egyik alapot és a hozzá tartozó magasságot összeszorozzuk, megkapjuk a területet. Ez könnyedén belátható a négyszög átdarabolásával.

Ha a négyszög két egymás melletti oldalát és az általuk közrezárt szög szinuszát összeszorozzuk, szintén megkaphatjuk a területet.

A terület úgy is megadható, hogy az átlók hosszát összeszorozzuk az általuk közrezárt szög szinuszával.


A paralelogramma kerülete

A paralelogramma kerületét könnyű kiszámolni. Mivel a szemközti oldalai egyenlő hosszúak, nincs más dolgunk, mint hogy a különböző hosszúságú oldalait összeadjuk, és ezt megszorozzuk kettővel. Használjuk az alábbi képletet!

Állítások a paralelogrammával kapcsolatban

Lássuk az alábbi állításokat, melyet minden diáknak tudnia kell.


A,

Amennyiben egy paralelogramma szögei derékszögek, akkor téglalap is egyben.


B,

Amennyiben egy paralelogramma szögei és oldalai is egyenlőek, akkor négyzet is egyben.


C,

Amennyiben egy paralelogramma minden oldala egyenlő, akkor rombusz is egyben.

Néhány feladat

Szeretnéd tesztelni, hogy mennyire vagy jártas a paralelogrammák világában? Íme, lássunk néhány érdekes feladatot!

I. feladat

Mely állítások igazak az alábbiak közül?


A,

Minden paralelogramma húrtrapéz.


B,

Ha egy négyszög két átlója egyenlő hosszú, akkor az a négyszög paralelogramma.


C,

Minden paralelogramma trapéz, de nem minden paralelogramma deltoid.


Megoldás. 

Az A, állítás hamis, hiszen nem minden paralelogramma köré írható kör. A B állítás is hamis, hanem ha az átlók nem felezik egymást, a négyszög nem lesz paralelogramma. A C, állítás igaz, hiszen minden paralelogrammának van párhuzamos oldalpárja, tehát minden paralelogramma trapéz. Azonban nem minden paralelogramma deltoid, hiszen a szomszédos oldalak között nem feltétlenül találni egyenlőeket.

II. feladat

Egy paralelogramma átlóinak hossza 25 és 35 cm, az általuk bezárt szög 45 fok. Határozzuk meg a területét!


Megoldás. A paralelogramma területe közvetlenül megadható, ha ismerjük az átlóinak a hosszát és a bezárt szögüket. A behelyettesítés után

III. feladat

Egy paralelogramma oldalainak hossza rendre 10,20,30,20 egység. Számoljuk ki a kerületét!


Megoldás. A feladat nem megoldható, ugyanis a megadott négyszög nem paralelogramma, hiszen nincs 2-2 egyenlő oldala.


Összefoglalás

A paralelogramma egy olyan négyszög, melyet mindenkinek ismernie kell, aki meg szeretne felelni az iskolai elvásároknak. Szeretnél beiratkozni internetes felkészítő tanfolyamunkra, mely minden korosztály számára megfelelő tananyagokat nyújt? Nem számít, hogy a hatodikos témazáródra, vagy pedig az érettségire szeretnél felkészülni, megtalálhatod azt a kurzust, amire Neked lenne szükséged személy szerint.