A prímszámok már évezredek óra izgatják a tudósokat. Az ókori görögök már ilyen, és ehhez hasonló kérdéseket tettek fel maguknak 2000 évvel ez előtt: mégis mik a prímek? Vajon létezik-e végtelen prímszám? Az 2 prímszám-e vagy sem? A prímek témaköre annál is érdekesebb, hiszen rengeteg olyan matematikai sejtés kapcsolódik hozzájuk, amelyek a mai napig nem leltek megoldásra. Íme, lássuk, hogy mit érdemes tudni a prímekről! Mint iskolai tanuló fontos tisztában lenni a prímekre vonatkozó főbb állításokkal, hiszen a matematika dolgozatban vagy a felvételin is kerülhetnek elő prímszámokkal kapcsolatos kérdések.

A prímszám fogalma

Vegyük sorra az első pozitív egész számokat, és vizsgáljuk meg, hogy közülük is melyek prímszámok! Az 1 nem prímszám, hiszen nincs pontosan két darab pozitív egész osztója. A 2 prímszám, hiszen a két pozitív egész osztója 1 és 2. Érdemes megjegyezni, hogy az egyetlen páros prímszám a kettő, hiszen minden más, kettőnél nagyobb páros számnak már minimum 3 pozitív egész osztója lesz. A 3 is prímszám, hiszen a két pozitív egész osztója van: az 1 és a 3. A 4 nem prím, hiszen osztói 1, 2 és 4. Az 5 prímszám, hiszen csak 1 és 5 az osztói. A 6 nem prím, hiszen páros. A 7 is prímszám.

De lássunk egy nagyon pratikus módszert arra, hogy hogyan lehet a prímeket megtalálni!

Az Erasztothenészi szita

Az Erasztothenészi szita egy remek módszer, melynek a segítségével nagyon könnyen meghatározható az első N prímszám. A módszert be szeretnénk mutatni, így határozzuk meg az első 49 prímet.


1,

vegyünk fel egy NxN-es négyzetrácsot (7X7-es négyzetrácsot jelenleg), melybe írjuk ki 1-től N négyzetig (azaz 49-ig) a számokat.


2,

Először vegyük a kettőt. Ennek az összes többszörösét húzzuk ki a rácsban. Minden számot eltávolítottunk a kettőn kívül, ami osztható kettővel.


3,

Utána vegyük a hármat. Húzzuk ki az összes hárommal osztható számot a rácsban, a hármat kivéve. Minden számot eltávolítottunk a hármon kívül, ami osztható 3-al.


4,

Folytassuk ezt az eljárást. Mindig a következő nem kihúzott számot vegyük!


5,

Az eljárást fejezzük be akkor, amikor a vizsgált szám négyzete már nagyobb mint N.


Így egy N=7-re az alábbi ábrát kapjuk majd – a megmaradt számok a prímek.


A prímszám táblázat 100-ig

Ha a fenti eljárást N-10-re megcsináljuk, akkor látni fogjuk, hogy összesen 26 prím van az első 100 pozitív egész számban. A prímek felsorolása 1-től 100-ig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97


Véges a prímek száma?

Egy nagyon is jogos kérdés: vajon véges, vagy végtelen számú prímszám létezik? Lássunk egy indirekt bizonyítást! Tegyük fel, hogy a prímek száma véges. Jelöljük a prímszámokat redre

Vegyük ezen számok szorzatát, és jelöljük ezt a szorzatot N-el. Adjunk hozzá egyet ehhez a szorzathoz! Ekkor az alábbi egyenlőséghez jutunk majd:

Az N szám nem osztható a szorzat egyetlen tagjával sem, a szorzat tényezői pedig a létező prímszámok. N pedig nyilvánvalóan nagyobb mint bármelyik tényezője a szorzatnak. Ezzel ellentmondásra jutottunk – találtunk egy olyan prímet, amely nagyobb mint bármely eddig feltételezett prím. Tehát, a kezdeti feltevésünk hamis volt.

Mi az ikerprím fogalma?

Ikerprímeknek hívjuk az olyan prímszám párokat, melyek különbsége kettő. Például a {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19} számpárok ikerprím párok.

Egy érdekes kérdés, amin lehet törni a fejünket: vajon létezik-e végtelen számú ikerprím? Ha sikerül megoldani a rejtélyt, akkor garantált az év végi ötös, hiszen a rejtélyt mind a mai napig senki nem oldotta meg.

A prímszámok használata a titkosításban

Mikor a gyerekek a prímekről tanulnak, akkor egy megfoghatatlan fogalomként kezelik. Hiszen, mégis mire jók ezek a tételek és állítások? Ha van olyan része a matematikának, aminek semmi gyakorlati haszna nincs, akkor azok a prímszámok.

Nos, ez hatalmas tévedés. Hiszen a titkosításban használják a prímeket. Ennek az az oka, hogy a nagyon nagy összetett számok prímtényezőkre bontása nehézkes a mai számítógépekkel. Ha összeszorzunk két hatalmas prímet, akkor nagyon nehéz meghatározni, hogy melyik két prímszám szorzata az összetett szám.

Gyakorlás

Gyakorlat teszi a mestert! Lássunk néhány érdekes, a prímszámokhoz kapcsolódó feladatot, amely mindenki számára nagyon érdekes lehet!

I. feladat

Adjuk meg az első 15 prímszám összegét!


Megoldás. 

A megoldáshoz természetesen meg kell határoznunk az első 15 prímszámot. A megoldás során használhatjuk akár az Erasztothenészi szitát is. Az első 15 prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Ezeknek az összege: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 = 328


II. feladat

Az első 10 prímszám összege és szorzata páros, vagy páratlan szám?


Megoldás. 

Az első lehetséges megoldási út, amire gondolhatunk, az az, hogy összeadjuk a prímeket egyesével, illetve ezek szorzatát vesszük. Azonban mi lenne, ha a feladat az első 1000 prímről szólni? Ez esetben a megoldás nagyon nehéz feladat lenne. Vizsgáljuk a számok paritásait!

Mivel a 2 egy prímszám, ezért a szorzat csak is páros lehet, hiszen ha egy szorzatnak van páros tényezője, akkor a szorzat is páros lesz.

Az első 10 prímszám között 1 páros és 9 páratlan található, így az összegük is páratlan lesz. Hiszen páratlan darab páratlan szám összege páratlan, amihez egy páros számot adunk hozzá.


III. feladat

Három prímszám szorzata 498. Melyek ezek a számok?


Megoldás. 

Ha észrevesszük, a szorzat páros. Mivel három prímről van szó, ez csak úgy lehetséges, hogy a kettő megtalálható a prímtényezők között. Ha jobban megfigyeljük, akkor az is észrevehető, hogy a szám számjegyeinek összege 21, ami osztható 3-al. Tehát a másik prímszám a 3. Ezek után már könnyen adódik az eredményt, hogy a három szám:

  • 2
  • 3
  • 83



Összefoglalás

Ha általános iskolás vagy, vagy gimnáziumi felvételiző, akkor mindenképp fontos, hogy tisztában legyél a legelemibb állításokkal a prímekre vonatkozóan. Szeretnél felkészülni a következő matematika dolgozatodra? Esetleg az érettségire, felvételire? Akkor iratkozz be online oktató felületünkre!