A térfogatszámítás az egyik központi része a felvételinek, valamint a középszintű érettséginek. Évről évre jönnek elő olyan feladatok és példák, ahol azt tesztelik, hogy a diákok mennyire jártasak a térfogatszámítás témakörében. Hogyan kell egy testekből összeragasztott alakzat térfogatát meghatározni?

Viszont, a térfogatszámítás a való életben is könnyen előjöhet. Gondoljunk csak arra, mikor egy ételhez a folyékony halmazállapotú hozzávalókat szeretnénk kimérni.

A cikket a ZseniMatek felkészítő csapata írta. Ha szeretnél, akkor iratkozz be internetes felkészítőnkre!

Mi a térfogat fogalma?

A térfogat (V) megadja, hogy egy test mekkora helyet foglal el a térben. SI méretékegysége .

A kocka térfogata

A kocka térfogatszámítása talán a legkönnyebb az összes ismert test közül. Nincs más dolgunk, mint hogy köbre emeljök az élhosszát, melyet jelöljünk a-val.

A téglatest térfogata

A téglatest térfogatát úgy adhatjuk meg, hogy összeszorozzuk a három élének a hosszát. Ezeket jelöljük rendre a,b,c-vel. A térfogatszámító képlet az alábbi:

A henger térfogata

A henger (egyenes körhenger) térfogata egyenlő az alapkör területének és a henger magasságának a szorzatával. Legyen az alapkör sugara r és a henger magassága m, ekkor a térfogat az alábbi módon számítható ki:

Természetesen az is előfordulhat, hogy a henger alapja nem kör. Ez esetben a henger térfogata a síkidom alapterületének és a henger magasságának szorzata.

A gúla térfogata

Egy gúla térfogatát úgy számíthatjuk ki, hogy az egyik háromszög alapterületét összeszorozzuk a hozzá tartozó magassággal, és az eredményt osztjuk hárommal. A képlet az alábbi módon fest:

ahol a háromszög alapterületét jelöli, míg az alapterülethez tartozó magasságot.


A tetraéder térfogata

A tetraéder egy olyan poliéder, melynek négy határoló lapjai négy darab háromszög. A térfogatszámítás képlete megegyezik a gúláéval annak köszönhetően, hogy a tetraéderek is gúlák.

A képletben az egyik háromszög alapterületét jelöli, pedig a hozzá tartozó magasságot.

Nagyon gyakran kerül elő az a kérdés, hogy hogyan adhatjuk meg egy szabályos tetraéder térfogatát az oldalélének függvényében. A helyes számítási képlet az alábbi:


A négyzetes gúla térfogata

A négyzetes gúla egy gúla, melynek az alap síkidomja négyzet. Használjuk az alábbi képletet a térfogat meghatározására!

A képletben az alapterületet jelöli, míg az alapterülethez tartozó magasságot. Mivel az alapterület egy négyzet, a képlet az alábbi módon írható fel a négyzet a oldalának függvényében:


A kúp térfogata

Legyen a kúp sugara r, a magassága pedig m. A kúp térfogata úgy számítható ki, hogy az alakör területét összeszorozzuk a magassággal, és hárommal osztjuk az eredményt.


A gömb térfogata

Ha a gömb sugara r, akkor annak térfogata az alábbi számító képlettel határozható meg:

A csonka gúla térfogata

A csonkagúla térfogata annak magasságával, valamint az alapterületek segítségével számolható ki. Jelöljük a nagyobb alapterületet T-vel, a kisebb alapterületet t-vel, a magasságot pedig m-el. Ekkor az alábbi képletek érvényesek:


A csonka kúp térfogata

A csonka kúp térfogata a határoló körök sugarának valamint a magasságának függvényében határozható meg. Jelöljük a nagyobb kör sugarát R-el, a kisebb kör sugarát r-el, a magasságot pedig m-el. Ekkor a térfogat az alábbi képlettel számolható ki:

Hogyan számíthatjuk ki nem szokványos testek térfogatát?

Nem szokványos testek térfogatát nehezebb feladat kiszámítani. Amennyiben megadható egyértelműen egy görbével a test egyenlete, integrálással határozható meg a térfogat. Közelítő értékeket számolhatunk mérnöki szoftverekkel is.

Összefoglalás

A térfogatszámítás esszenciális részét képezi az iskolai tananyagnak. Vannak testek – például a kocka, téglatest vagy tetraéder – melynek illik tudni a térfogatszámítási képletét fejből is. Egy érettségin természetesen ott lesz mellettünk a négyjegyű függvénytáblázat, ahonnan ki tudjuk keresni a megfelelő képleteket.

Szeretnél felkészülni a következő matematika dolgozatodra? Akkor iratkozz be online felkészítő tanfolyamainkra!