A trapéz fogama már az ókori görög matematikusokat is megfogta. Ugyanúgy definiálták ezt a négyszöget, mint a paralelogrammát, rombuszt vagy téglalapot. Felmerülhet a kérdés bennünk: nekünk iskolai tanulóként miért fontos, hogy tisztában legyünk a trapéz fogalmával? Azért, mert a felvételin, érettségi vizsgán rendszeresen jönnek elő olyan feladatok, amik a trapézzal kapcsolatosak. Hogyan kell a kerületét és területét kiszámolni? Ezek az iskolai matematika legalapvetőbb feladatai.

A cikket a ZseniMatek csapata írta. Ha szeretnél, akkor iratkozz be internetes felkészítőnkre!

A trapéz definíciója, fogalma

A trapéz egy olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja. Ezen oldalpárt nevezzük a trapéz alapjainak, a másik két oldalpárt hívjuk száraknak. A trapéz átlói azon szakaszok, melyek

A trapéz egy olyan négyszög, melynek van olyan oldalpárja, amely párhuzamos. Ezt az oldalpárt nevezzük a trapéz alapjainak, a másik két oldalt pedig száraknak. A trapéz átlói a szemközti csúcsokat összekötő szakaszok. A trapéz magassága a párhuzamos oldalpár távolsága.

Abban az esetben, ha a négyszög másik két oldala is párhuzamos, paralelogrammáról beszélünk. Abban az esetben, ha a négyszög oldalai egyenlőek, akkor a trapéz rombusz.

A trapéz tulajdonságai

Íme, lássuk pontokba szedve a trapéz legfontosabb tulajdonságait:

  • A belső szögeinek összege 360 fok
  • Az egy száron fekvő szögeinek összege 180 fok
  • Az átlói az alapok arányában metszik egymást
  • Konvex négyszög

A trapéz területe

A trapéz területe úgy számítható ki, hogy a két alap számtani közepét megszorozzuk a trapéz magasságával.

Az összefüggésben az a és c az alapokokat jelöli, míg m a trapéz magasságát. Tekintsük az alábbi ábrát!

A trapéz kerülete

A trapéz kerületét úgy számíthatjuk ki, hogy a négy oldalhosszát összeadjuk. Semmilyen speciális összefüggés vagy képlet nincs a kerületre vonatkozóan ellenben sok másik speciális négyszöggel.

A képletben a, b, c, d a trapéz négy különböző oldalát jelölik.

A húrtrapéz

A húrtrapéz egy olyan trapéz, mely rendelkezik körülírt körrel. A húrtrapézok mindig tengelyesen szimmetrikusak, ezért is hívják őket szimmetrikus trapézoknak.

Szedjük listába a legfontosabb tulajdonságait:

  • Átlói egyenlő hosszúak
  • Szárai egyenlő hosszúak
  • Tengelyesen szimmetrikus
  • Van körülírt köre
  • Az azonos alapon fekvő szögei egyenlőek

A derékszögű trapéz

A derékszögű trapéz egy olyan trapéz, melynek van legalább egy derékszöge. A derékszögű trapézoknak mindig páros számú derékszögük van, hiszen az egy száron levő szögei váltószögek. Ha egy trapéznak négy derékszöge van, akkor téglalap.

Gyakorlás

Szokták mondani, hogy gyakorlat teszi a mestert! Oldjunk meg néhány gyakorló feladatot a trapézokra vonatkozóan!


Feladat I.

Egy trapéz magassága 15 cm, alapjai pedig 12, illetve 20 cm. Mekkora a területe?


Megoldás. 

Használjuk a trapéz területszámító képletét. Helyettesítsük be a számokat!


Feladat II.

Mely állítások igazak az alábbiak közül?


A,

Minden trapéz négyzet.


B,

Minden trapéz téglatest.


C,

Minden téglalap trapéz.


D,

Minden trapéz rombusz.


Megoldás. 

Az (A) állítás hamis, hiszen nem minden trapéznak egyenlőek az oldalai, és derékszög minden belső szöge. A (B) állítás hamis, hiszen az egyik egy geometriai alakzat, a másik egy test. A (C) állítás igaz, hiszen a téglalapoknak van párhuzamos oldalpárja. A (D) hamis, hiszen nem minden trapéznak egyenlőek az oldalai.